Aufgabe:

Wir haben im Beispiel 3.1 darauf hingewiesen, dass ∅ eine der beiden Sprachen ist, deren Hülle endlich ist. Wie lautet die andere Sprache?

Lösung:

Man betrachte die in der Aufgabe als genannte Sprache, die von dem regulären Ausdruck beschrieben wird. ∅:

∅^{∗} = L(∅)^{∗}= L(∅)^{0} ∪ L(∅)^{1} ∪ L(∅)^{2} ∪ .....

= {ε} ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...

= {ε}

Betrachtet man die obigen Zeilen müsste schon offensichtlich sein, welches die andere Sprache S ist. Sobald man bei L(S)^{2} ist muss klar sein, dass die Elemente im Alphabet von S neutral bezüglich der Konkatenation sein müssen, denn sonst werden es unendlich lange Zeichenreihen. Und neutral bezüglich der Konkatenation ist nur ein Element, nämlich ε.

ε^{∗} = L(ε)^{∗}= L(ε)^{0} ∪ L(ε)^{1} ∪ L(ε)^{2} ∪ .....

= {ε} ∪ {ε} ∪ {εε} ∪ ...

= {ε}